Modelos matemáticos
Para estudiar
el comportamiento de los sistemas se utilizan modelos matemáticos, que se
representan por ecuaciones, las cuales describen las relaciones entre la
entrada y la salida de un sistema, y que también se aprovechan para predecir el
comportamiento de un sistema en condiciones especificas.
Los sistemas que se construyen en esta forma se conocen
como sistemas de parámetros concentrados
Elementos básicos de
sistemas mecánicos
Los elementos
básicos que se utilizan para representar sistemas mecánicos son los
resortes, amortiguadores y masas. Los resortes representan la rigidez
del sistema; los amortiguadores, las fuerzas que se oponen al
movimiento, es decir, los efectos de fricción o amortiguamiento, y las masas,
la inercia o resistencia a la aceleración.
El elemento básico amortiguador
representa el tipo de fuerzas que se originan cuando se intenta empujar un
objeto a través de un fluido, o al desplazar un objeto en contra de fuerzas de
fricción. Mientras más rápido se empuje al objeto, mayor será la magnitud de
las fuerzas opositoras.
Sistemas rotacionales
El resorte,
el amortiguador y la masa son los elementos básicos de los
sistemas mecánicos donde se presentan fuerzas y desplazamientos en línea
recta, es decir, desplazamientos traslacionales o sin rotación. Si existe una
rotación, los elementos básicos equivalentes son el resorte de torsión, el
amortiguador giratorio y el momento de inercia, es decir, la inercia de una
masa con movimiento giratorio. Con estos elementos básicos la entrada es el
torque y la salida el movimiento angular.
El elemento básico momento
de inercia tiene la propiedad de que mientras más grande sea el momento de
inercia /, mayor será el torque requerido para producir una aceleración
angular, a.
Modelado de sistemas mecánicos
Para evaluar la relación que existe
entre la fuerza y el desplazamiento del sistema se debe adoptar un procedimiento
en el cual se considere solamente una masa y exclusivamente las fuerzas que
actúen sobre ésta; al esquema anterior se le conoce como diagrama de cuerpo
libre .
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| Ejemplo sistema mecánico |
Elementos básicos de
sistemas eléctricos
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| Ejemplo Sistema eléctrico |
Los elementos
básicos de los sistemas eléctricos son los inductores, capacitores y
resistencias. En un inductor la diferencia de potencial, v, presente en
todo momento depende de la razón de cambio de la corriente (di/dt) que
pasa por él.
En un capacitor,
la diferencia de potencial depende de la carga, q, de las placas del
capacitor en determinado momento.
En una resistencia,
la diferencia de potencial, v, en un instante dado dependerá de la
corriente, i, que circule por ella, es decir:
v = Ri
Obtención de modelos
en sistemas eléctricos
Las
ecuaciones que describen la combinación de los
elementos básicos eléctricos son las leyes de Kirchhoff, las cuales
pueden expresarse como:
Ia. ley: la corriente total que entra en un
nodo es igual a la corriente total que sale de éste; es
decir, la suma algebraica de las corrientes de un nodo es cero.
2a.
ley: en un circuito de lazo cerrado o malla, la suma algebraica de las
diferencias de potencial de cada una de las partes del circuito es igual al
voltaje aplicado o fuerza electromotriz (f.e.m.).
Una manera práctica de
aplicar la primera ley es a través del análisis de nodos, ya que ésta
se aplica a cada uno de los principales nodos de un circuito eléctrico Para
aplicar de manera práctica la segunda ley se utiliza el análisis de malla.
Elementos
básicos en sistemas de fluidos
En estos sistemas la entrada es el flujo volumétrico y la
salida, es la diferencia de presión, (p1 — p2). Se puede
considerar que los sistemas de fluidos pertenecen a dos categorías: hidráulicos,
donde el fluido es un líquido no compresible; y neumáticos, los
cuales contienen gases compresibles que, por lo tanto, experimentan cambios de
densidad.
La resistencia
hidráulica es la que
presenta un líquido cuando fluye a través de una válvula o debido a los cambios
en el diámetro de la tubería.
Capacitancia
hidráulica es el término
que describe la energía almacenada en un líquido cuando éste se almacena en
forma de energía potencial es decir, lo que se conoce como carga de agua, una
modalidad de este almacenamiento de energía. En la capacitancia, la razón de
cambio del volumen, V. del
recipiente, es decir, dV/dt, es igual a la diferencia entre el flujo
volumétrico de entrada al recipiente , y el flujo de salida del mismo.
La inercia
hidráulica es el
equivalente de la inductancia en un sistema eléctrico o de un resorte en los
sistemas mecánicos. Para acelerar un fluido y así aumentar su velocidad, se
requiere una fuerza. Considere un bloque de masa líquida, m. La fuerza neta que actúa sobre el líquido es:
En los sistemas
neumáticos los tres
elementos básicos son, al igual que los sistemas hidráulicos, la resistencia,
la capacitancia y la inercia
La
resistencia neumática, R , se define en función del gasto másico dm/dt
La capacitancia
neumática, C, se debe a la
compresibilidad del gas y es comparable a la forma en que la compresión de un
resorte almacena energía.
La inercia
neumática se debe a la
caída de presión necesaria para acelerar un bloque de gas.
El gasto
volumétrico en los elementos hidráulicos y el gasto mágico en los
elementos neumáticos son análogos a la corriente eléctrica de un sistema
eléctrico
Elementos básicos
de los sistemas térmicos
Los elementos
básicos de los sistemas térmicos son dos: resistencia y capacitancia. Existe un flujo neto de
calor entre dos puntos si entre
ellos hay una
diferencia de temperatura
La capacitancia térmica es la medida de almacenamiento de
energía interna en un sistema.
Un aumento de
la energía interna implica un incremento de la temperatura.
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